Inégalité de Popoviciu

En analyse convexe, l'inégalité de Popoviciu est une inégalité portant sur les fonctions convexes. Elle ressemble à l'inégalité de Jensen et a été découverte en 1965 par le mathématicien roumain Tiberiu Popoviciu.

Énoncé

Soit f une fonction d'un intervalle ${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$ dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Si f est convexe, alors, pour trois points quelconques x, y et z de I^,,

${\displaystyle {\frac {2}{3}}\left[f\left({\frac {x y}{2}}\right) f\left({\frac {y z}{2}}\right) f\left({\frac {z x}{2}}\right)\right]\leqslant {\frac {f(x) f(y) f(z)}{3}} f\left({\frac {x y z}{3}}\right)}$

Si une fonction f est continue, alors elle est convexe si et seulement si l'inégalité ci-dessus est vraie pour tout x, y et z de I. Lorsque f est strictement convexe, l’inégalité est stricte sauf pour x = y = z.

Généralisation

Cette inégalité peut être généralisée à n’importe quel nombre fini n de points au lieu de 3, pris à droite k à la fois au lieu de 2 à la fois :

Soit f une fonction continue d'un intervalle ${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$ dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Alors f est convexe si et seulement si, pour tout entier n et k où n ≥ 3 et 2 ≤ k ≤ n–1 et n points quelconques x₁, ..., x_n de I,

${\displaystyle {\frac {1}{k}}{\binom {n-2}{k-2}}\left({\frac {n-k}{k-1}}\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}) nf\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)\right)\geqslant \sum _{1\leqslant i_{1}<\dots$

L'inégalité de Popoviciu peut également être généralisée en une inégalité pondérée^,,. L'article de Popoviciu a été publié en roumain, mais le lecteur intéressé peut trouver ses résultats dans la revue en lien Zentralblatt MATH.

Notes et références

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